রাসেলের প্যারাডক্স: মৌলিক তথ্য, উদাহরণ, তৈয়ার

রাসেল প্যারাডক্স দুই পরস্পরের উপর নির্ভরশীল যৌক্তিক ন্যায়বিরোধ হয়।

রাসেলের প্যারাডক্স দুই ফর্ম

যুক্তিবিজ্ঞান সেটে একটি অসঙ্গতি অধিকাংশ ঘন ঘন আলোচনা ফর্ম। সেট কিছু নিজেদের সদস্যদের, এবং অন্যদের মনে করা হয় - কোন। সব সেট সেট নিজেই একটি সেট, তাই এটি মনে হচ্ছে যে নিজেকে বোঝায়। ফাঁকা বা খালি অবশ্য নিজেই একজন সদস্য হওয়া উচিত নয়। অতএব, সব সেট সেট, শূন্য হিসাবে নিজেকে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না। প্যারাডক্স দেখা দেয় যখন কিনা নিজেই সদস্যের সেটের প্রশ্ন। যদি এবং কেবল যদি তা না হয় এই সম্ভব।

আরেকটি ফর্ম প্যারাডক্স বৈশিষ্ট্য সম্বন্ধে একটি দ্বন্দ্ব। কিছু বৈশিষ্ট্য নিজেদের পড়ুন বলে মনে হয় অন্যরা নয়। সম্পত্তি, সম্পত্তি নিজেই একটি সম্পত্তি হতে যখন সম্পত্তি একটি বিড়াল নয় এটা হতে। একটি সম্পত্তি তাঁর অন্তর্গত নয় থাকার সম্পত্তি বিবেচনা করুন। এটি নিজে প্রযোজ্য তাহলে কি হবে? আবার, অনুমানের কোন বিপরীত হওয়া উচিত। প্যারাডক্স বার্ট্রান্ড রাসেল (1872-1970), যিনি এটা 1901 সালে আবিষ্কৃত সম্মানে নামকরণ করেন।

গল্প

উদ্বোধনী রাসেল "গণিত মূলনীতি" তার কাজের সময় ঘটেছিল। যদিও তিনি প্যারাডক্স স্বাধীনভাবে আবিষ্কৃত এমন প্রমাণও আছে যে অন্যান্য গণিতবিদ ও আর্নেস্ট Zermelo সহ সেট তত্ত্ব, এর ডেভেলপারদের হয় ডেভিড হিলবার্ট, তার পূর্বে অসঙ্গতি প্রথম সংস্করণ সম্পর্কে সচেতন ছিলেন। রাসেল, তবে, যারা প্রথম বিস্তারিতভাবে তার প্রকাশিত কাজে প্যারাডক্স আলোচনা প্রথম সমাধান প্রণয়ন করার চেষ্টা এবং সম্পূর্ণরূপে তার তাত্পর্য প্রশংসা করতে প্রথম। "মূলনীতি" এর একটা গোটা অধ্যায়ে এই বিষয়টি নিয়ে আলোচনা অনুগত হয় এবং আবেদন ধরনের তত্ত্ব, যা রাসেল একটি সমাধান হিসেবে প্রস্তাবিত অনুগত ছিল।

রাসেল মিথ্যাবাদী এর "প্যারাডক্স 'আবিষ্কৃত ক্যান্টর এর সেট তত্ত্ব বলে কোনো সেট শক্তি তার সাব-সেট নির্বাচন সেট চেয়ে ছোট যে বিবেচনা। যদি প্রতিটি উপাদান এক উপসেট শুধুমাত্র এই উপাদান ধারণকারী সেট করা হয় সেখানে এটি উপাদান ডোমেইনে অন্তত হিসাবে অনেক সাব-সেট নির্বাচন হওয়া উচিত। তদ্ব্যতীত, ক্যান্টর প্রমাণ উপাদানের সংখ্যা সাব-সেট নির্বাচন সংখ্যার সমান হতে পারে না। যদি একই সংখ্যক ছিল, এটা ƒ বৈশিষ্ট্য যা তাদের সাব-সেট নির্বাচন উপর উপাদান প্রদর্শন করবে অস্তিত্ব করতে হবে। একই সময়ে এটা প্রমানিত হতে পারে যে এই অসম্ভব। কিছু আইটেম, ফাংশন ƒ সাব-সেট নির্বাচন যে তাদের ধারণ উপর প্রদর্শিত হতে পারে অন্যরা নাও হতে পারে।

উপাদান আছে যা তাদের চিত্র, যা তারা ƒ প্রদর্শন অন্তর্গত না এর উপসেট বিবেচনা করুন। এটা নিজেই উপাদানের একটি উপসেট, এবং তাই ƒ ফাংশন ডোমেইনে একটি উপাদান তে এটি প্রদর্শন করবে। সমস্যা হল তখন প্রশ্ন এই উপাদান উপসেট এটা ƒ প্রদর্শন যা কিনা তা হিসেবে দেখা দেয় দুটো কারণে। এটি কেবলমাত্র সম্ভব হলে এটি অন্তর্ভুক্ত নয়। রাসেলের প্যারাডক্স যুক্তি একই লাইনে একটি উদাহরণ হিসেবে দেখা যেতে পারে, শুধুমাত্র সরলীকৃত। সেট বা সেটের সাব-সেট নির্বাচন - কি বেশি? মনে হবে যে সেখানে সেট হওয়া উচিত, সেট নিজেদের সব সাব-সেট নির্বাচন হিসাবে। কিন্তু যদি ক্যান্টর এর উপপাদ্য সত্য হয় তাহলে সেখানে সাব-সেট নির্বাচন হওয়া উচিত। রাসেল কেবল গণ্য নিজেদের উপর সেট প্রদর্শন এবং এই সব উপাদান, একটি সেট যা তারা প্রদর্শিত হয় বাইরে সেট বিবেচনা করা kantoriansky পদ্ধতির প্রয়োগ করা হয়েছে। দেখানো রাসেল সব সেট একটি অ সেট হয়ে যায়।

ত্রুটি Frege

"মিথ্যাবাদী প্যারাডক্স" সেট তত্ত্বের ঐতিহাসিক বিকাশের উপর গভীর প্রভাব বিস্তার করে। তিনি দেখিয়েছেন যে সার্বজনীন সেট ধারণা অত্যন্ত সমস্যাযুক্ত। তিনি ধারণা প্রতিটি সংজ্ঞায়িত শর্ত বা সম্পৃক্ত কেবল সেগুলো যে এই অবস্থা সন্তুষ্ট একটি বহুবচন অস্তিত্ব অনুমান করতে পারেন প্রশ্নবিদ্ধ। সংস্করণ সেট করার জন্য একটি প্রাকৃতিক এক্সটেনশন - - অপশন বৈশিষ্ট্য বিষয়ে প্যারাডক্স কিনা এটা সম্ভব একটি সম্পত্তি উদ্দেশ্য অস্তিত্ব বা শর্ত, অথবা বিধেয় দ্বারা নির্ধারিত প্রতিটি একটি সার্বজনীন নিয়ম মেনে চলা সম্পর্কে তর্ক করতে গুরুতর সন্দেহ উত্থাপিত।

শীঘ্রই অসঙ্গতি এবং logicians কাজে সমস্যার খুঁজে পাওয়া যায়নি, দার্শনিক ও গণিতবিদ একই অনুমানের করেছেন। 1902 সালে, রাসেল দেখা গেছে যে প্যারাডক্স একটি বৈকল্পিক, Gottlob Frege এর "গাণিতিক ফাউন্ডেশন" এর ভলিউম আমি প্রয়াত XIX যুক্তি মূল কাজ এক উন্নত একটি লজিক্যাল সিস্টেমের মধ্যে প্রকাশ করা যেতে পারে - পুরানো এক্সএক্স শতকের। Frege দর্শনের মধ্যে অনেক "এক্সটেনশন" বা "মূল্য পরিসীমা" ধারণা হিসেবে বোঝা। ধারণা সম্পর্ক সেই নিকটস্থ হয়। তারা কোনো শর্ত বা সম্পৃক্ত জন্য অস্তিত্ব আশা করা যায়। সুতরাং, একটি সেট, যা তার সংজ্ঞা ধারণা অনুযায়ী পড়ে না একটি ধারণা। এছাড়া একটি বর্গ এই ধারণা দ্বারা সংজ্ঞায়িত, এবং এটা তার ধারণা শুধুমাত্র যদি তা না হয় সংজ্ঞায়িত সাপেক্ষে।

রাসেল এই সংঘাতের সম্পর্কে Frege লিখেছেন চিঠিপত্রের সবচেয়ে উত্তেজনাপূর্ণ অন্যতম জুন 1902., এবং যুক্তিবিজ্ঞান ইতিহাসে সম্পর্কে বললাম। Frege অবিলম্বে প্যারাডক্স এর বিপর্যয়মূলক পরিণতি বলে সনাক্ত করেছেন। তিনি উল্ল্যেখ করেছিলেন, কিন্তু, যে তার দর্শনের বৈশিষ্ট্য সংক্রান্ত বিতর্কের সংস্করণ স্তরের ধারণার মধ্যে পার্থক্য দ্বারা সমাধান করা হয়।

Frege ধারণা সত্য থেকে ফাংশনের আর্গুমেন্ট থেকে রূপান্তরটি হিসেবে বোঝা। ধারণা প্রথম স্তরের আর্গুমেন্ট দ্বিতীয় স্তর ধারণার বস্তু এই ফাংশন আর্গুমেন্ট, ইত্যাদি হিসাবে গ্রহণ যেমন গ্রহণ। সুতরাং, ধারণা নিজেই একটি আর্গুমেন্ট হিসাবে কখনই নিতে পারে, এবং বৈশিষ্ট্যাবলী পরিপ্রেক্ষিতে প্যারাডক্স প্রণয়ন করা যাবে না। তা সত্ত্বেও সেট সম্প্রসারণ বা ধারণা Frege অন্যান্য সমস্ত বস্তু যে একই যৌক্তিক টাইপ উল্লেখ হিসেবে বোঝা। তারপর জোড়া প্রত্যেকে সেট জন্য সেখানে একটি প্রশ্ন কিনা তা সংজ্ঞায়িত ধারণা করার অনুমতি নেই।

যখন Frege, রাসেল প্রথম চিঠি, "গাণিতিক ফাউন্ডেশন" এর দ্বিতীয় খন্ডের পেয়েছি ইতিমধ্যে মুদ্রণ সমাপ্ত হয়। তিনি দ্রুত একটি অ্যাপ্লিকেশন যে রাসেলের প্যারাডক্স একটি উত্তর দেয় প্রস্তুত করতে বাধ্য করা হয়। উদাহরণ Frege সম্ভাব্য সমাধান একটি নম্বর রয়েছে। কিন্তু তিনি একটি লজিক্যাল সিস্টেমের মধ্যে বিমূর্ততা সেটের ধারণা দুর্বল করে উপসংহার আসেন।

মূল, এটা উপসংহারে যে বস্তুর সেট জন্যে যদি এবং কেবল যদি এটা ধারণা মধ্যে বৃক্ষের পতন হয়, এটা সংজ্ঞায়িত সম্ভব ছিল। সংশোধিত সিস্টেম শুধুমাত্র এই উপসংহারে আসতে পারি যে বস্তুর সেট জন্যে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি বহুবচন সংজ্ঞা ধারণা মধ্যে পড়ে, কিন্তু প্রশ্ন সেট না। রাসেলের প্যারাডক্স দেখা দেয় দুটো কারণে।

সমাধান, কিন্তু, সম্পূর্ণ Frege সন্তুষ্ট নয়। আর এই কারণ ছিল। বেশ কিছু বছর পরে, অসঙ্গতি আরো জটিল ফর্ম সংশোধিত সিস্টেমের জন্য পাওয়া গেছে। কিন্তু এমন কি আগে এই ঘটেছে, Frege তার সিদ্ধান্ত পরিত্যক্ত এবং উপসংহার যে, তার পদ্ধতির কেবল অকার্যকর ছিল আসা বলে মনে হচ্ছে, এবং যে যুক্তিবিজ্ঞান সেট কোনো ছাড়া করতে হবে।

যদিও অনেকে প্রস্তাব করা হয়েছে তুলনামূলকভাবে আরো সফল বিকল্প সমাধান। এই নীচে আলোচনা করা হল।

ধরনের তত্ত্ব

এও উপরে যে Frege কূটাভাস পর্যাপ্ত সাড়া ছিল সেট তত্ত্বের সংস্করণে বৈশিষ্ট্যের জন্য প্রণয়ন করা। Frege প্রতিক্রিয়া প্যারাডক্স এর এই ফর্মে সবচেয়ে ঘন ঘন আলোচনা সমাধান অঙ্কিত হয়েছিল। এটা সত্য যে বৈশিষ্ট্য বিভিন্ন ধরনের সাপেক্ষে ও সম্পত্তির কি ধরনের আইটেম যা এটা বোঝায় হিসাবে একই হয় না উপর ভিত্তি করে।

সুতরাং, এমনকি প্রশ্ন জাগে, কিনা সম্পত্তি নিজেই প্রযোজ্য। লজিক্যাল ভাষা, যা এই ধরনের একটি অনুক্রমের উপাদান আলাদা করে, ধরনের তত্ত্ব ব্যবহার করে। যদিও ইতিমধ্যে Frege, প্রথমবার দ্বারা ব্যবহৃত হয় এটি সম্পূর্ণরূপে ব্যাখ্যা করা হয় এবং "নীতি" থেকে অ্যানেক্স মধ্যে রাসেল প্রতিপাদিত। ধরনের তত্ত্ব Frege স্তরের পার্থক্য চেয়ে বেশি ছিল সম্পূর্ণ। তিনি বৈশিষ্ট্য শুধুমাত্র যুক্তিবিজ্ঞান বিভিন্ন ধরনের, কিন্তু নির্ধারিত ভাগ করেছে। রাসেল অনুসরণ করে এমন ব্যাক্তিদের স্ববিরোধী দ্বন্দ্ব সমাধান করতে তত্ত্ব টাইপ করুন।

অর্ডার দার্শনিকভাবে পর্যাপ্ত হতে, বৈশিষ্ট্য ধরনের তত্ত্ব গ্রহণ যাতে বৈশিষ্ট্য প্রকৃতির তত্ত্ব উন্নয়নে প্রয়োজন ব্যাখ্যা হতে পারে কেন তারা নিজেদের প্রয়োগ করা যাবে না। এক নজরে, এটা তাদের নিজস্ব সম্পত্তি সম্পৃক্ত জ্ঞান করে তোলে। স্ব-পরিচয় হচ্ছে সম্পত্তি, মনে হবে, এটি একটি স্ব-পরিচয়। সম্পত্তি একটা চমৎকার উপভোগ্য বলে মনে হয়। একই ভাবে, দৃশ্যতঃ একে মিথ্যা বলতে চাই যে একটি বিড়াল হচ্ছে সম্পত্তি একটি বিড়াল বলে মনে হয়।

তা সত্ত্বেও, বিভিন্ন চিন্তাবিদদের বিভিন্ন ধরনের বিভাজন সমর্থনযোগ্য। রাসেল এমনকি তাঁর কর্মজীবনের বিভিন্ন সময়ে বিভিন্ন ব্যাখ্যা দিয়েছেন। তার অংশ জন্য, Frege স্তরের বিভিন্ন ধারণার বিচ্ছেদের জন্য যুক্তিপূর্ণ অসম্পৃক্ত ধারণার তার তত্ত্ব থেকে আসে। ফাংশন হিসাবে ধারণা, ভব, অসম্পূর্ণ। মান প্রদান, তারা একটি আর্গুমেন্ট প্রয়োজন। আপনি একই ধরণের ধারণা সম্পৃক্ত না শুধু একটা ধারণা কারন এটিতে এখনও তার যুক্তি থাকা প্রয়োজন। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, যদিও এটি সম্ভব একটি সংখ্যা বর্গমূল বর্গমূল নেওয়া, আপনি শুধু একটি বর্গমূল ফাংশন বর্গমূল ফাংশন ব্যবহার এবং এর ফলে পেতে পারেন।

রক্ষনশীলতাবাদ বৈশিষ্ট্য সম্বন্ধে

আরেকটি সম্ভাব্য সমাধান কোনো শর্ত, অথবা একটি সুগঠিত সম্পৃক্ত অধীনে প্যারাডক্স বৈশিষ্ট্য অস্বীকৃতি বৈশিষ্ট্য অস্তিত্ব। অবশ্যই, যদি কেউ সামগ্রিকভাবে উভয় উদ্দেশ্য ও স্বাধীন উপাদানের আধিবিদ্যক বৈশিষ্ট্য eschews, যদি আমরা নামকৈবল্যবাদ প্যারাডক্স নেওয়া সম্পূর্ণরূপে এড়ানো যায়।

যাইহোক, ন্যায়বিরোধ সমাধানের জন্য তাই চরম প্রয়োজন হবে না। লজিক উচ্চতর ক্রম সিস্টেম যা অনুযায়ী উন্নত Frege এবং রাসেল, ধারণ কি একটি ধারণাগত নীতি বলা হয়, প্রতিটি খোলা সূত্র কিভাবে জটিল একটি সম্পত্তি বা উদাহরণস্বরূপ ধারণা কেবলমাত্র সেই আইটেম সূত্র মেলে অংশ হিসেবে বিদ্যমান নির্বিশেষে। তারা কোন ব্যাপার না যতই জটিল তারা অবস্থা বা predicates, এর প্রতি সম্ভব সেট গুণাবলীর প্রয়োগ করা হয়েছিল।

তা সত্ত্বেও, এটি একটি কঠোর অধিবিদ্যা বৈশিষ্ট্য নিতে, ডান যেমন লাল রঙ, দৃঢ়তার, উদারতা ইত্যাদি উদাহরণস্বরূপ সহ সহজ বৈশিষ্ট্য উদ্দেশ্য অস্তিত্বের দান, সম্ভব ছিল। ডি এমনকি আপনি জানাতে পারেন এই বৈশিষ্ট্য যেমন উদারতা যেমন নিজেদের আবেদন করতে পারেন দয়াশীল হত্তয়া।

এবং জটিল বৈশিষ্ট্যাবলী জন্য একই অবস্থা অস্বীকৃত, উদাহরণস্বরূপ, থাকার সতেরো-মাথা যেমন যেমন "বৈশিষ্ট্য", অধীনে জল করা লেখা এবং ভালো। ডি এই ক্ষেত্রে, কোন পূর্ব নির্ধারিত শর্ত সম্পত্তি পূরণ করতে পারছে না, যেমন আলাদাভাবে বোঝা বিদ্যমান উপাদান, যা তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য আছে। এভাবে এক সহজ বৈশিষ্ট্য অস্তিত্ব অস্বীকার করতে পারে-সম্পত্তি-যে-অ প্রয়োগ-টু-স্ব এবং বেশি রক্ষণশীল আধিবিদ্যক বৈশিষ্ট্য প্রয়োগের দ্বারা প্যারাডক্স এড়ানো।

রাসেলের প্যারাডক্স: সমাধান

সর্বোপরি এটি উল্লিখিত হয়েছে যে তার জীবনের শেষের দিকে Frege সম্পূর্ণরূপে সেট যুক্তিবিজ্ঞান ছেড়ে দেন। এই, অবশ্যই, এক বিরোধাভাস করতে সেট আকারে সমাধান: একটি সম্পূর্ণ হিসাবে যেমন পদার্থের অস্তিত্বের প্রমাণ হিসেবে একটি সহজ অস্বীকার। এ ছাড়াও অন্যান্য জনপ্রিয় পছন্দ হয়, মূলসূত্র যার নিচে দেখানো হয়েছে।

অনেক ধরনের জন্য তত্ত্ব

আগেই উল্লেখ করা হয়েছে, রাসেল ধরনের, যারা বিভিন্ন ধরনের না শুধুমাত্র বৈশিষ্ট্য বা ধারণা ভাগ হবে আরো একটি সম্পূর্ণ তত্ত্ব খেলেছেন, কিন্তু সেট। রাসেল পৃথক ইউনিট একটি বহুবচন সেট ভাগ করেছেন, পৃথক বস্তু, ইত্যাদি সেট একটি বহুবচন বস্তুর সেট বিবেচনা করা হয়, এবং সেট একটি বহুবচন - .. নির্ধারণ করে। কখনো অনেক টাইপ আস্বাদিত আপনি নিজেই একজন সদস্য হিসেবে যেতে পারেন। অতএব সেখানে কারণ এটি একটি সদস্য হিসাবে কিনা, নিজেই লঙ্ঘন ধরনের সম্পর্কে প্রশ্ন কোন সেট জন্য সব সেট করেন যা নিজের সদস্য নয় কোন সেট হয়। আবার, এখানে ইস্যু অধিবিদ্যা সেট ব্যাখ্যা করতে ধরনের মধ্যে বিভাগের দার্শনিক ভিত্তি ব্যাখ্যা হয়।

স্তরবিন্যাস

1937 সালে ভি ভি Kuayn একটি উপায় ধরনের তত্ত্ব অনুরূপ একটি বিকল্প সমাধান দেওয়া হয়েছে। এটা সম্পর্কে মৌলিক তথ্য আছে।

উপাদান সেট এবং অন্যদের। মেড যাতে একটি বহুবচন খুঁজে বের করার ধৃষ্টতা সবসময় ভুল অথবা অর্থহীন পৃথক। সেট যখন তাদের অবস্থার সংজ্ঞা শুধুমাত্র প্রদান করা যেতে পারে লঙ্ঘন টাইপ নয়। সুতরাং, Quine জন্য, অভিব্যক্তি "X না এক্স একজন সদস্য" অর্থপূর্ণ বিবৃতির এই অবস্থা পরিতৃপ্ত সব উপাদান এক্স সেট অস্তিত্ব পরোক্ষভাবে না হয়।

এই সিস্টেমে একটি সেট কিছু খোলা সূত্র একটি জন্য বিদ্যমান যদি এবং কেবল যদি এটা স্তরিত করা হয়, টি। ই ভেরিয়েবল যেমন এটা পরিবর্তনশীল পূর্ববর্তী একটি বহুবচন প্রতিটি চরিত্রগত সংঘটন জন্য নিয়োগ ইউনিট নির্ধারিত হয় পরিবর্তনশীল চেয়ে ছোট যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বরাদ্দ হয়, তার পরে নিম্নলিখিত। এই ব্লক রাসেলের প্যারাডক্স, যেহেতু সূত্র সমস্যা সেট নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা হয়, একই আগে ও পরিবর্তনশীল সদস্যপদ চিহ্ন এটা অ-স্তরীভূত করার পর হয়।

কিন্তু এটা কিনা ফলে সিস্টেম, যা Quine বলা হয় "গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান নিউ ফাউন্ডেশন" সামঞ্জস্যপূর্ণ নির্ধারণ করতে এখনো আছে।

প্রত্যাখ্যান

Fraenkel (ZF) - একটি সম্পূর্ণরূপে ভিন্ন পদ্ধতি Zermelo তত্ত্বে নেওয়া হয়। এখানে, অত্যধিক, সেট অস্তিত্ব উপর একটি সীমা সেট করুন। পরিবর্তে, রাসেল ও Frege, এর "টপ-ডাউন" যারা প্রাথমিকভাবে ভেবেছিলাম যে সব ধারণা, সম্পত্তি, বা অবস্থার জন্য এই সম্পত্তি সঙ্গে সব কিছুর সেট অস্তিত্ব সুপারিশ করতে পারি বা ZF-তত্ত্ব যেমন একটি শর্ত পূরণের, পদ্ধতি, সবকিছু শুরু "নিচ থেকে।"

ফাঁকা সেট ও স্বতন্ত্র উপাদান একটি সেট গঠন করে। অতএব, তার আগে সিস্টেম ও রাসেল Frege মাপসই অসদৃশ সার্বজনীন সেট যা সমস্ত উপাদান এবং এমনকি সব সেট অন্তর্ভুক্ত অন্তর্গত নয়। ZF সেট অস্তিত্ব যথাযথ সীমা সেট করে। শুধুমাত্র অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে যারা যা তা পরিষ্কারভাবে postulated হয় বা পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া এবং মত মাধ্যমে প্রণয়ন করা হতে পারে। ডি

তারপর, ধারণা বিমূর্ততা সাদাসিধা সেটের পরিবর্তে যুক্তরাষ্ট্রের যা একটি নির্দিষ্ট উপাদান সেট মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যদি এবং কেবল যদি এটা বিচ্ছেদ ব্যবহৃত ডিএফ, বিচ্ছেদ বা "বাছাই" নীতিগতভাবে শর্ত পূরণ। সব উপাদান যা ব্যতিক্রম ছাড়া হয় সেট অস্তিত্ব অভিমানী একটি নির্দিষ্ট শর্ত সন্তুষ্ট, প্রতিটি বিদ্যমান সেট পরিবর্তে Aussonderung মূল সেট যা শর্ত সন্তুষ্ট সমস্ত উপাদানের একটি উপসেট অস্তিত্ব নির্দেশ করে।

তারপর বিমূর্ততা নীতি আসে: সেট একটি উপস্থিত থাকে, তাহলে, যদি একটি সমস্ত x এর জন্য, x এর উপসেট এ, যা শর্ত সন্তুষ্ট যদি এবং কেবল যদি x এর সন্তুষ্ট শর্ত সি এই পদ্ধতির সমাধান করা প্যারাডক্স রাসেল, যেহেতু আমরা কেবল অনুমান করতে পারে না জন্যে যে সব সেট যে নিজেদের সদস্য নয় এর সেট।

সেট অনেকটা হচ্ছে, আপনি নির্বাচন করতে পারেন অথবা এটি সেট যা কিনা নিজেদের মাঝে হয়, এবং যারা এই ধরনের নয় বিভক্ত, কিন্তু যেহেতু কোন সার্বজনীন সেট আমরা সবাই সেট সেট আবদ্ধ নেই। সমস্যা অভিমানী ছাড়া সেট করে রাসেল অসঙ্গতি প্রমাণিত করা যাবে না।

অন্যান্য সমাধানের

উপরন্তু, এই সমস্ত সমাধানগুলির পরবর্তী এক্সটেনশান বা সংশোধনীগুলি যেমন "গণিতের মূলনীতি" -এর তত্ত্বের প্রবর্তন, কুইনের দ্বারা "গণিতিক যুক্তি" পদ্ধতির সম্প্রসারণ, পাশাপাশি বার্নার্স, গডেল ও ভন নিউম্যান দ্বারা গঠিত সেট তত্ত্বের পরবর্তী উন্নয়নও ঘটেছিল। বারট্রান্ড রাসেলের অসহযোগিত বিরোধের উত্তর পাওয়া যায় কি না প্রশ্নের এখনও বিতর্ক একটি ব্যাপার।