গাণিতিক বিশ্লেষণের মূল ভিত্তি ডেরিভেটিভ কিভাবে খুঁজে পেতে?

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু x0- তে কিছু ফাংশন F (x) এর ডেরিভেটিভটি ফাংশনটির বৃদ্ধির অনুপাতের বিন্যাসের সীমারেখা, যেটি এক্স 0 এর নিচে এবং সীমানাটি বিদ্যমান থাকে। ডেরিভেটিভ সাধারণত একটি প্রধান দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, কখনও কখনও একটি বিন্দু দ্বারা বা একটি ডিফারেনশিয়াল মাধ্যমে প্রায়শই, সীমানা পেরিয়ে একটি রেকর্ড বিভ্রান্তিকর, যেহেতু এই ধরনের একটি উপস্থাপনা অত্যন্ত বিরলভাবে ব্যবহার করা হয়।

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু x0 এ একটি ডেরিভেটিভ আছে একটি ফাংশন যেমন একটি বিন্দু এ differentiable বলে বলা হয়। ধরুন যে D1 পয়েন্টের সংখ্যার যা F- পার্থক্য হয়। প্রতিটি নম্বরকে ডিফ '(x) এর সাথে সংযুক্ত করা সংখ্যা x দ্বারা, আমরা D1 এর ডোমেনে একটি ফাংশন পাই। এই ফাংশন y = f (x) এর ডেরিভেটিভ। এটি 'f' (x) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

উপরন্তু, পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশল মধ্যে ডেরিভেটিভ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এর সহজ উদাহরণ বিবেচনা যাক। উপাদান বিন্দু সরাসরি নির্দেশিত অক্ষ বরাবর সরানো হয়, গতির আইন দেওয়া হয় কি, অর্থাৎ, এই বিন্দুটির সমন্বয় x পরিচিত ফাংশন x (t)। সময় ব্যবধানে t0 থেকে t0 + t পর্যন্ত, বিন্দুর বিচ্ছিন্নতা x (t0 + t) -x (t0) = x, এবং এর গড় গতি v (t) x / t হয়

কখনও কখনও গতির চরিত্র এমনভাবে উপস্থাপিত হয় যে, অল্প সময়ের ব্যবধানে গড় গতি পরিবর্তিত হয় না, এর মানে হল যে গতিটি আরও বেশি নির্ভুলতা সঙ্গে ইউনিফর্ম বলে মনে করা হয়। বা গড় বেগ মান যদি, t0 কিছু পুরোপুরি সঠিক মান অনুসরণ করে, যা একটি নির্দিষ্ট তাত্ক্ষণিক সময় t0 এ এই মুহুর্ত তাত্ক্ষণিক দ্রুতি v (t0) বলা হয়। এটি অনুমান করা হয় যে তাত্ক্ষণিক বেগ ভি (টি) কোনও বিভাজিত ফাংশন x (t) জন্য পরিচিত, v (t) x '(t) এর সমান। সহজভাবে করা, গতি সময় সমন্বয় ডেরিভেটিভ।

তাত্ক্ষণিক বেগ উভয় ধনাত্মক এবং নেতিবাচক মান রয়েছে, এবং 0 এর একটি মানও রয়েছে। যদি এটি কিছু সময় ব্যবধান (t1; t2) জন্য ইতিবাচক হয়, তাহলে বিন্দু একই দিক ধরে যায়, অর্থাৎ, x (t) সমন্বয় সময় সঙ্গে বৃদ্ধি, এবং যদি ভি (টি) নেতিবাচক, তারপর কো-অর্ডিনেট x (টি) হ্রাস হয়।

আরও জটিল ক্ষেত্রে, বিন্দু একটি প্ল্যানে বা স্থান স্থানান্তরিত তারপর বেগ একটি ভেক্টর পরিমাণ এবং ভেক্টর ভী (টি) এর প্রতি নির্দেশক নির্ধারণ করে।

একইভাবে, এক বিন্দু গতির গতিতে তুলনা করতে পারে। গতি হল সময়ের একটি ফাংশন, অর্থাৎ, v = v (t)। এবং যেমন একটি ফাংশন ডেরিভেটিভ গতি গতি: একটি = ভি '(টি)। যে, এটা সময় সংক্রান্ত সঙ্গে গতির ডেরিভেটিভ একটি ত্বরণ হয় যে দেখা যাচ্ছে

ধরুন যে y = f (x) কোন পার্থক্য ফাংশন। তারপর আমরা কোঅর্ডিনেট লাইনের সাথে একটি উপাদান পয়েন্টের গতি বিবেচনা করতে পারি, যা আইন x = f (t) এর পিছনে ঘটে। ডেরিভেটিভ এর যান্ত্রিক বিষয়বস্তু এটি সম্ভব ডিফল্ট ক্যালকুলাসের উপপাদ্য একটি দৃশ্যমান ব্যাখ্যা উপস্থাপন করা সম্ভব ।

ডেরিভেটিভ কিভাবে খুঁজে পেতে? একটি ফাংশন ডেরিভেটিভ খোঁজার তার বিভক্ত বলা হয়।

আমরা উত্থাপিত ফাংশন কিভাবে খুঁজে পেতে উদাহরণ দিতে হবে:

একটি ধ্রুবক ফাংশন ডেরিভেটিভ শূন্য; ফাংশন এর ডেরিভেটিভ y = x একের সমান।

এবং একটি ভগ্নাংশের ডেরিভেটিভ কিভাবে খুঁজে পেতে? এটি করতে, নিম্নলিখিত উপাদান বিবেচনা করুন:

কোন x0 জন্য <0 আমাদের আছে

Y / x = -1 / x0 * (x + x)

একটি ডেরিভেটিভ খোঁজার জন্য বিভিন্ন নিয়ম আছে। যথা:

যদি ফাংশন A এবং বি বিন্দু x0 এ পার্থক্য হয়, তবে তাদের সমষ্টি পয়েন্টে বিভক্ত: (A + B) '= A' + B '। সহজভাবে করা, একটি সমষ্টি ডেরিভেটিভ ডেরাইভেটিভ যোগ সমান হয়। যদি ফাংশন কিছু পয়েন্টে পার্থক্য হয় তবে তার বৃদ্ধি শূন্য হয়ে যায় যখন আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য হয়।

যদি ফাংশন A এবং B বিন্দু x0 এ পার্থক্য হয়, তাহলে তাদের পণ্যটি বিন্দুতে বিভক্ত: (A * B) '= A'B + AB'। (ফাংশনের মান এবং তার ডেরিভেটিভগুলি বিন্দু x0 এ গণনা করা হয়)। যদি ফাংশন A (x) বিন্দু x0 এ পার্থক্য হয়, এবং C একটি ধ্রুবক, তবে CA এই বিন্দুতে বিভক্ত এবং (CA) '= CA' হয়। যে, একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর ডেরিভেটিভের একটি চিহ্ন হিসাবে নেওয়া হয়।

যদি ফাংশন A এবং বি বিন্দু x0 এ পার্থক্য হয়, এবং ফাংশন B শূন্য সমান হয় না, তাহলে তাদের অনুপাত বিন্দুতেও বিভক্ত: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B।