ফুরিয়ার সিরিজ: ইতিহাস ও বিজ্ঞানের উন্নয়নের জন্য গাণিতিক প্রক্রিয়া প্রভাব

ফুরিয়ার সিরিজ - এই দৃশ্য ইচ্ছামত একটি সারিতে সময়ের ফাংশন চয়ন করা হয়েছে। সাধারণ ভাষায় বলতে গেলে, এই সমাধান একটি লম্ব ভিত্তিতে সম্প্রসারণ উপাদান বলা হয়। ফুরিয়ার সিরিজ ফাংশন সম্প্রসারণ ইন্টিগ্রেশন, বিভেদ মধ্যে রূপান্তর বৈশিষ্ট্য কারণে বিভিন্ন সমস্যা, এবং সেইসাথে যুক্তি মত প্রকাশ ও সংবর্তন মধ্যে একটি স্থানান্তর সমাধানের জন্য বেশ শক্তিশালী হাতিয়ার।

একজন ব্যক্তি যিনি উচ্চতর গণিত সাথে পরিচিত, সেইসাথে ফরাসি বিজ্ঞানী ফুরিয়ার কাজ সঙ্গে নয়, সম্ভবত বুঝতে পারে না কি "পদমর্যাদার" এবং তারা কি না। তা সত্ত্বেও এই রূপান্তর বেশ দৃঢ়ভাবে আমাদের জীবনে প্রবেশ করানো হয়। এটি ব্যবহৃত হয় শুধুমাত্র গণিত নয়, বরং পদার্থবিদদের, রসায়নবিদ, ডাক্তার, জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা, সিসমোলজিস্টরা, সমুদ্রবৈজ্ঞানিক এবং অন্যদের। আমাদের মহান ফরাসি বিজ্ঞানী কাজ যারা আবিষ্কার করেন, তাঁর সময়ের এগিয়ে দিয়ে একটি ঘনিষ্ঠ কটাক্ষপাত করা যাক।

মানুষ এবং ফুরিয়ার রুপান্তর

ফুরিয়ার সিরিজ পদ্ধতি এক (বিশ্লেষণ এবং অন্যদের সহ) হয় ফুরিয়ার এর রুপান্তর। এই প্রক্রিয়া জায়গা প্রত্যেক সময় একজন ব্যক্তির কোনো শব্দ শোনে লাগে। আমাদের কান স্বয়ংক্রিয়ভাবে পরিবর্তিত শব্দ তরঙ্গ। একটি ইলাস্টিক মাঝারি প্রাথমিক কণার দোদুল্যমান আন্দোলন বিভিন্ন উচ্চতা টোন জন্য সিরিজ (বর্ণালী) ধারাবাহিক ভলিউম মানের মধ্যে প্রসারিত করছে। এর পরে, মস্তিষ্ক আমাদের জন্য পরিচিত শব্দ মধ্যে এই তথ্য পরিবর্তন করে। এই সব আমাদের ইচ্ছা বা চেতনা নিজেই ছাড়াও, কিন্তু অর্ডার প্রক্রিয়া বেশ কয়েক বছর নেওয়া উচ্চতর গণিত অধ্যয়ন বুঝতে হবে।

আরও পড়ুন ফুরিয়ার রুপান্তর সম্পর্কে

ফুরিয়ার রুপান্তর বিশ্লেষণাত্মক, সংখ্যা ও অন্যান্য পদ্ধতি আউট বাহিত করা যেতে পারে। সৌর চক্র (এবং অন্যান্য জ্যোতির্বিদ্যা বস্তু) কার্যকলাপ সমুদ্রে জোয়ার-ভাটা ও আলোর তরঙ্গ থেকে - ফুরিয়ার সিরিজ কোনো দোদুল্যমান প্রসেস decomposing জন্য সংখ্যা প্রক্রিয়া আছে। এই গাণিতিক কৌশল ব্যবহার করে এটা ফাংশন অবতরণ করা, sinusoidal উপাদান যে ন্যূনতম থেকে সর্বোচ্চ যান এবং তদ্বিপরীত একটি নম্বর কোনো দোদুল্যমান প্রসেস প্রতিনিধিত্বমূলক সম্ভব। ফুরিয়ার রুপান্তর একটি ফাংশন ফেজ এবং একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি সংশ্লিষ্ট sinusoids প্রশস্ততা বর্ণনা করা হয়েছে। এই প্রক্রিয়া একটি খুব জটিল সমীকরণ যা তাপ, আলো বা বৈদ্যুতিক শক্তির কর্ম অধীনে ঘটছে গতিশীল প্রক্রিয়া বর্ণনা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যাবে। এছাড়াও, ফুরিয়ার সিরিজ জটিল waveforms ডিসি উপাদান পার্থক্য, এটা সম্ভব সঠিকভাবে চিকিৎসা, রসায়ন ও জ্যোতির্বিজ্ঞানেও পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণ ব্যাখ্যা করা উপার্জন করতেন।

ঐতিহাসিক তথ্য

এই তত্ত্ব প্রতিষ্ঠাতা পিতা ফরাসি গণিতবিদ Zhan Batist Zhozef Fure হয়। তাঁর নাম পরে এবং এই রূপান্তর বলা হয়েছে। কঠিন বস্তুর মধ্যে তাপ প্রসারণ - প্রাথমিকভাবে, বিজ্ঞানীরা অধ্যয়ন এবং তাপ পরিবাহিতা এর মেকানিজম ব্যাখ্যা করার একটি কৌশল ব্যবহার করা হয়েছে। ফুরিয়ার যে তাপ তরঙ্গ প্রাথমিক অনিয়মিত বন্টন সহজ sinusoid, প্রতিটি যা তার তাপমাত্রা সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ, সেইসাথে তার ফেজ থাকবে মধ্যে পচে যায়। সুতরাং এই ধরনের প্রতিটি উপাদানের সর্বোচ্চ এবং তদ্বিপরীত সর্বনিম্ন থেকে পরিমাপ করা হয়। গাণিতিক ফাংশন যা বক্ররেখার উচ্চ এবং নিম্ন পীক বর্ণনা করে, সেইসাথে প্রতিটি সুরেলা ফেজ, ফুরিয়ার নামক মত প্রকাশের তাপমাত্রা বিতরণের রুপান্তর। কমে সামগ্রিক বণ্টনের ফাংশনের তত্ত্ব লেখক যে গাণিতিক বিবরণ করা কঠিন, একটি খুব সহজ একটি সংখ্যা হ্যান্ডেল করতে পর্যায় ফাংশন প্রাথমিক বন্টন দান পরিমাণ সাইন এবং কোসাইন।

রূপান্তর নীতিকে এবং সমসাময়ীক মতামত

বিজ্ঞানী সমসাময়ীক - ঊনবিংশ শতাব্দীর নেতৃস্থানীয় গণিতবিদ - এই তত্ত্ব স্বীকার করেনি। প্রধান আপত্তি যে সান্তার ফাংশন একটি সরল রেখা বা বক্ররেখা বর্ণনা ছিন্ন থাকে ফুরিয়ার অনুমোদন, এটা sinusoidal অভিব্যক্তি একটানা হয় একটি সমষ্টি হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে ছিল। উদাহরণস্বরূপ, বিবেচনা একটি "পদক্ষেপ" Heaviside: এর মান ফাঁক বাঁদিকে শূন্য এবং ডান দিকে একটি। এই ফাংশনটি অবসান শৃঙ্খল সময় পরিবর্তনশীল উপর বৈদ্যুতিক বর্তমান নির্ভরতা বর্ণনা করা হয়েছে। সমসাময়িক তত্ত্ব যে সময়ে, যেমন একটি পরিস্থিতির মধ্যে সান্তার অভিব্যক্তি যেমন সূচকীয়, জ্যা, রৈখিক বা দ্বিঘাত যেমন ক্রমাগত, সাধারণ ফাংশন, সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণিত হবে যখন সম্মুখীন না করেছে।

ফুরিয়ার তত্ত্বে ফরাসি গণিতবিদ কি বিরক্ত?

সব পরে, যদি একটি গণিতজ্ঞ তর্ক অধিকার ছিল, তারপর, অসীম ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ summing, এটা সম্ভব প্রকাশের পদক্ষেপ সঠিক উপস্থাপনা প্রাপ্ত হয়, যদিও তা অনুরূপ পদক্ষেপ একটি সেট আছে। ঊনবিংশ শতাব্দীতে এই বিবৃতি কিম্ভুতকিমাকার করলো। কিন্তু সব সন্দেহ সত্ত্বেও, অনেক গণিতবিদ এই ঘটনার অধ্যয়নের সুযোগ পালটে যেতে থাকে, তাপ প্রবাহ স্টাডিজ পরলোক এটি সরানোর। তবে, অধিকাংশ বিজ্ঞানী প্রশ্ন ভোগা অব্যাহত: "ক্যান সাইন ওয়েভ সিরিজের যোগফল সান্তার ফাংশনের সঠিক মান এগোয়"

ফুরিয়ার সিরিজের কনভার্জেন্স: উদাহরণস্বরূপ

অভিসৃতি ইস্যু প্রত্যেক সময় আপনি সংখ্যার অসীম সিরিজের এর সমষ্টি প্রয়োজন রি। এই ঘটনার বোঝার জন্য এটা একটা ধ্রুপদী উদাহরণ বিবেচনা করুন। আপনি কি কখনো, প্রাচীর পৌঁছতে পারে যদি প্রতিটি পদক্ষেপ অর্ধেক পূর্ববর্তী হয়? ধরুন আপনি লক্ষ্য থেকে দুই মিটার হয়, অর্ধেক উপায় কাছাকাছি কাছাকাছি প্রথম পদক্ষেপ, পরবর্তী - একটি তিন চতুর্থাংশ চিহ্ন এবং পঞ্চম পরে, আপনি উপায় প্রায় 97 ভাগ অতিক্রম করবে। যাইহোক, কোন ব্যাপার কতগুলি পদক্ষেপ আপনি করেছেন তন্ন তন্ন উদ্দেশ্য লক্ষ্য আপনি একটি কঠোর গাণিতিক অর্থে পৌঁছানোর। সংখ্যাসূচক গণনার ব্যবহার করে, আমরা শেষ প্রমাণ করতে পারেন যে একটি ইচ্ছামত ছোট প্রদত্ত দূরত্ব কাছাকাছি হতে পারে। এই প্রমাণ প্রদর্শক অর্ধেক, এক চতুর্থাংশ, ইত্যাদি মোট মান। ই ঐক্য থাকে দেওয়ার সমতুল্য।

অভিসৃতি ইস্যু: দ্বিতীয় আসছে, বা লর্ড কেলভিন উপকরণ

বারবার প্রশ্ন উনিশ শতকের শেষ দিকে উঠে যখন ফুরিয়ার সিরিজ ebbs এবং প্রবাহ তীব্রতা ভবিষ্যদ্বাণী করা ব্যবহার করতে চেষ্টা করেছি। সেই সময় লর্ড কেলভিন আবিষ্কৃত হয় ডিভাইস একটি এনালগ কম্পিউটার যা অনুমতি নাবিকদের নৌবাহিনী ও মার্চেন্ট মেরিন মনিটর একটি প্রাকৃতিক ঘটনা হয়। এই প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত পর্যায়গুলি এবং জোয়ারের এবং সংশ্লিষ্ট সময় মুহূর্তের টেবিল উচ্চতার amplitudes সেট, যত্নসহকারে সারা বছর ধরে আশ্রয় মাপা। প্রতিটি পরামিতি একটি sinusoidal উপাদান অভিব্যক্তি জোয়ার উচ্চতা এবং নিয়মিত উপাদান এক। পরিমাপ ফলাফল, কম্পিউটিং ডিভাইস লর্ড কেলভিন ইনপুট হয় বক্ররেখা যে পরের বছর এর কার্যকারিতা হিসেবে পানির উচ্চতা পূর্বাভাস সংশ্লেষিত। খুব শীঘ্রই, এই রেখাচিত্র বিশ্বের সব বন্দর জন্য প্রণীত হয়েছে।

এবং প্রক্রিয়া সান্তার ফাংশন ভাঙ্গা হবে তাহলে কি হবে?

সেই সময়, এটি সুস্পষ্ট যে ডিভাইস একটি জোয়ার তরঙ্গ, অ্যাকাউন্ট অনেক উপাদানের সঙ্গে পূর্বাভাসের পর্যায়গুলি এবং amplitudes সংখ্যক নিরূপণ করতে পারেন, এবং তাই আরো সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী প্রদান করলো। তা সত্ত্বেও, এটা প্রমাণিত যে এই প্যাটার্ন ক্ষেত্রে যেখানে জোয়ার অভিব্যক্তি সংশ্লেষিত করা হবে, একটি ধারালো লাফ রয়েছে, যে, সান্তার হয় না পালন করা হয়। ঘটনা যে যন্ত্রপাতি সময় পয়েন্ট টেবিল থেকে তথ্য প্রবেশ করতে, এটি কয়েক ফুরিয়ার কোফিসিয়েন্টস হিসাব করে। sinusoidal উপাদান (পাওয়া কোফিসিয়েন্টস অনুযায়ী) কারণে মূল ফাংশন পুনরুদ্ধার হচ্ছে। মূল এবং পুনঃনির্মাণ অভিব্যক্তি মধ্যে অমিল যেকোনো সময়ে পরিমাপ করা যায়। যখন পুনরাবৃত্তি হিসাব এবং তুলনা দেখা যায় যে সবচেয়ে বড় ত্রুটি মূল্য হ্রাস করা হয় না। যাইহোক, তারা অঞ্চল বিদারণ বিন্দু সংশ্লিষ্ট স্থানীয়, এবং অন্য কোন বিন্দু শূন্য থাকে। 1899 সালে এই ফলাফল ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়ের তাত্ত্বিক জশুয়া উইলার্ড গিবস নিশ্চিত করা হয়।

ফুরিয়ার সিরিজের কনভার্জেন্স এবং সামগ্রিকভাবে গণিতের উন্নয়ন

ফুরিয়ার বিশ্লেষণ একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বিস্ফোরণ অসীম নম্বর রয়েছে এমন এক্সপ্রেশন প্রযোজ্য নয়। সাধারণ ফুরিয়ার সিরিজে, মূল ফাংশন প্রকৃত শারীরিক পরিমাপের ফলাফলের দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যদি, সবসময় মিলিত হয়। ফাংশন নির্দিষ্ট শ্রেণীর জন্য এই প্রক্রিয়ার অভিসৃতি প্রশ্নগুলি গণিতের নতুন শাখা, এই ধরনের সাধারণ ফাংশন তত্ত্ব হিসাবে করা হয়েছে। এটা যেমন শোয়ার্জ, জে .. Mikusiński এবং জে মন্দির বলে নামের সাথে যুক্ত করা হয়। এই তত্ত্ব অনুযায়ী, এই ধরনের প্রকাশের জন্য একটি স্পষ্ট এবং সুনির্দিষ্ট তাত্ত্বিক ভিত্তি ডিরাক ব-দ্বীপ ফাংশন (এটা একটি একক এলাকার অঞ্চল, পয়েন্ট একজন ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র আশপাশ কেন্দ্রীভূত বর্ণনা) এবং "পদক্ষেপ" Heaviside প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। বিন্দু চার্জ, বিন্দু ভর, চৌম্বক dipoles এবং মরীচি মনোনিবেশ লোড: এই কাজের মাধ্যমে ফুরিয়ার সিরিজ সমীকরণ এবং সমস্যা, যা স্বজ্ঞাত ধারণা জড়িত সমাধানের জন্য প্রযোজ্য হয়ে ওঠে।

ফুরিয়ার পদ্ধতি

ফুরিয়ার সিরিজ, হস্তক্ষেপ নীতির অনুযায়ী, সহজতর মধ্যে জটিল ধরনের পচানি দিয়ে শুরু। উদাহরণস্বরূপ, তাপ অনিয়মিত আকৃতি উপাদান অন্তরক বা স্থল পৃষ্ঠ পরিবর্তন বিভিন্ন বাধা মাধ্যমে এর উত্তরণ কারণে তাপ প্রবাহ পরিবর্তন - একটি ভূমিকম্প, স্বর্গীয় শরীরের কক্ষপথের পরিবর্তন - গ্রহের প্রভাব। সাধারণত, এই সমীকরণ সহজ শাস্ত্রীয় সিস্টেম প্রাথমিক বর্ণনা প্রতিটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য জন্য সমাধান। ফুরিয়ার দেখানো হয়েছে যে সহজ সমাধান আরো জটিল কাজের জন্য যেমন সংকলিত আপ করা যাবে। গণিতের ভাষায়, ফুরিয়ার সিরিজ - কোসাইন এবং সাইন তরঙ্গ - সমন্বয়পূর্ণ অভিব্যক্তি সমষ্টি জমা দেওয়ার জন্য একটি পদ্ধতি। অতএব, এই বিশ্লেষণ আরও নাম "সুরেলা বিশ্লেষণ" এর অধীনে পরিচিত হয়।

ফুরিয়ার সিরিজ - "কম্পিউটার যুগের" থেকে একটি আদর্শ পদ্ধতি

কম্পিউটার প্রযুক্তি ফুরিয়ার পদ্ধতি তৈরির আগে আমাদের বিশ্বের ওয়েভ প্রকৃতি নিয়ে কাজ বিজ্ঞানীদের সহায় সেরা অস্ত্র। জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজ আপনি না শুধুমাত্র সহজ সমস্যা বলবিজ্ঞান নিউটনের আইন প্রয়োগের নির্দেশ এক্তিয়ারভুক্ত, কিন্তু মৌলিক সমীকরণ সমাধান করতে পারবেন। উনিশ শতকের নিউটনীয় বিজ্ঞানের আবিষ্কারের সর্বাধিক শুধুমাত্র ফুরিয়ার পদ্ধতি কারণে সম্ভব হয়ে ওঠে।

ফুরিয়ার সিরিজ আজ

ফুরিয়ার উন্নয়নের সঙ্গে রুপান্তর কম্পিউটারের একটি নতুন স্তর বেড়েছে। এই কৌশলটি দৃঢ়ভাবে বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির প্রায় সব ক্ষেত্রের মধ্যে প্রোথিত হয়। একটি উদাহরণ, একটি ডিজিটাল অডিও এবং ভিডিও হিসাবে। তার বাস্তবায়ন ঊনবিংশ শতাব্দীর ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা উন্নত তত্ত্ব করা সম্ভব শুধুমাত্র ধন্যবাদ করা হয়েছে। সুতরাং, জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজ মহাকাশ গবেষণা একটি যুগান্তকারী করতে অনুমতি দিয়েছেন। উপরন্তু, এটা অর্ধপরিবাহী উপকরণ এবং রক্তরস, মাইক্রোওয়েভ শ্রবণশক্তি, সমুদ্রবিজ্ঞান, রাডার, সিসমোলজি এর পদার্থবিজ্ঞানের গবেষণায় প্রভাবিত করেছে।

ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ

গণিত, একটি ফুরিয়ার সিরিজ সহজ একটি সমষ্টি হিসাবে নির্বিচারে জটিল ফাংশন প্রতিনিধিত্ব একটি উপায়। সাধারণ ক্ষেত্রে, এক্সপ্রেশন সংখ্যা অসীম হতে পারে। অধিক সংখ্যক হিসাব গণনা, আরো সঠিক চূড়ান্ত ফলাফল প্রাপ্ত হয়। সহজ ত্রিকোণমিতিক কোসাইন বা সাইন কার্যক্রম সবচেয়ে সাধারণ ব্যবহার। এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সিরিজ ত্রিকোণমিতিক বলা হয়, এবং এই ধরনের এক্সপ্রেশন সিদ্ধান্ত - সুরেলা পচানি। এই পদ্ধতি গণিত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। প্রথম সব, ত্রিকোণমিতিক সিরিজ চিত্রের জন্য একটি উপায়, সেইসাথে ফাংশন অধ্যয়ন প্রদান করে, এটা তত্ত্বের প্রধান ইউনিট নেই। উপরন্তু, এটা গাণিতিক পদার্থবিদ্যা সমস্যার একটি সংখ্যা সমাধানের জন্য আমাদের পারেন। অবশেষে, এই তত্ত্ব প্রভূত উন্নতি হয়েছে গাণিতিক বিশ্লেষণ, এটা গাণিতিক বিজ্ঞান (ইন্টেগ্রাল তত্ত্ব, পর্যাবৃত্ত ফাংশন তত্ত্ব) এর খুবই গুরুত্বপূর্ণ শাখা একটি সংখ্যা বৃদ্ধি দিয়েছেন। উপরন্তু, নিম্নলিখিত উন্নয়নে আদ্যস্থল তত্ত্ব: সেট একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল, কার্যাবলী কার্মিক বিশ্লেষণ, এবং সুরেলা বিশ্লেষণের জন্য ভিত্তিপ্রস্তর স্থাপন করেন।